不定积分经典练习,(secx)^3的原函数怎么求?
不定积分经典练习,(secx)^3的原函数怎么求?
#头条创作挑战赛#
正割的立方的原函数至少有三种求法。最简便的方法当然是直接运用公式了。正割的正整数次方的不定积分是有公式的。
教材提供的是递推公式,即将原不定积分记为In的形式,n就是正割的指数,可以将In递推得到I_(n-2),即每次递推都使指数减少2. 最后就可以得到1的不定积分或secx的不定积分,然后利用1的原函数是x+C或secx的原函数是ln|secx+tanx|+C,就可以得到(secx)^3的原函数了。
这个递推公式是:
In=tanx(secx)^(n-2)/(n-1)+(n-2)/(n-1)*I_(n-2)dx, n≠1.
这里的n=3, 因此得到:
解1:原积分=tanxsecx/2+1/2*I1=tanxsecx/2+1/2*ln|secx+tanx|+C.
这里还有一个问题,或者说有两个问题,是一个问题的两种情况。首先,当n很大的时候,你很难通过这样一步一步往下递推去得到原函数。比如当n=13时,你可以试一试,那将是多大的递推工程。甚至当n=99999时,相信把它解出来和“愚公移山”的难度可以相提并论了。
这个时候我们就需要一个公式的最终形态,而不单单是教材提供的递导公式了。不要担心,老黄已经为你推导出这个公式了。公式需要根据n的奇偶性分类讨论,如下:
老黄顺带把余割的正整数次方的不定积份公式都推出来了。因此,就给我们提供了第二种解法,就是直接运用它的最终公式形态,得到:
解2:原积分=(ln|secx+tanx|)/2+tanx/2*∑(i=1)((2-2i)‼(secx)^(3-2i)/(3-2i)‼ +C.
当n太大的时候,直接以公式的形式做答案就可以了。如果需要展开,就交给计算机程序去完成就可以了。当然,这里的n=3,比较小,我们可以轻松把它展开,结果和解1是一致的。
而当n比较小时,我们并不一定要直接运用公式。因为直接运用公式对学习其实并不是特别有好处。我们可以手撕这个不定积分,相当于探究公式的推导过程。
解3:∫(secx)^3dx=∫secxdtanx【根据dtanx=(secx)^2dx凑微分】
=secxtanx-∫tanxdsecx【运用了分部积分公式】
=secxtanx-∫(tanx)^2secxdx【根据dsecx=secxtanxdx】
=secxtanx-∫((secx)^2-1)secxdx【根据(secx)^2-1=(tanx)^2】
=secxtanx-∫((secx)^3-secx)dx【运用了乘法分配律,讲这么详细,真是有点失礼了】
=secxtanx-∫(secx)^3dx+∫secxdx【运用了不定积分的线性法则】
=secxtanx-∫(secx)^3dx+ln|secx+tanx|+C1【运用了正割的积分公式】
∴原积分=tanxsecx/2+1/2*ln|secx+tanx|+C.【移项,合并同类项,化系数为1】
三种解法,能不能让你领会一些求不定积分的真谛了呢?
-
- 文身与就业:一场无解的矛盾?
-
2025-06-05 18:14:57
-
- 魏大勋被甩?其炒作恋情引杨幂厌烦,男方苦苦哀求不要孩子仍被拒
-
2025-06-05 18:12:43
-
- 为何大家都不太敢养“松狮犬”?网友:养过一次就怕了
-
2025-06-05 18:10:28
-
- 胡歌深夜发微博晒36岁庆生照,配图却是邋遢大叔,吴磊的评论亮了
-
2025-06-05 18:08:13
-
- 很多人都搞不清民国时期和北洋政府时期,今天一次性给大家讲清楚
-
2025-06-05 18:05:59
-
- 邓伦的四任女友对比
-
2025-06-05 18:03:44
-
- “五九不破冰,九九不耕牛”,今日进五九,冷天啥说法?农谚咋说
-
2025-06-05 18:01:29
-
- 云子——国礼之子,棋界珍品
-
2025-06-05 17:59:15
-
- 个人独资企业存在哪些优缺点?
-
2025-06-05 11:28:46
-
- 白银地区传统文化||黄河战鼓、太平鼓
-
2025-06-05 11:26:31
-
- 80元一单微信解封,骗了智商税,还赔了人情分。
-
2025-06-05 11:24:17
-
- 南昌华润万象城今年10月开业
-
2025-06-05 11:22:02
-
- 新车|川崎NINJA 400新车发布,调性未改新增配色,售价4.98万元起
-
2025-06-05 11:19:47
-
- 人力资源公司经营范围,助力企业全面了解人力资源公司
-
2025-06-05 11:17:34
-
- 秦朝地图,秦朝的疆域南北都到达哪里
-
2025-06-05 11:15:17
-
- 积家特邀井柏然、韩寒联袂呈献 北宸系列三部曲《一路向北》
-
2025-06-05 11:13:02
-
- 原来微信隐藏10个表白代码,翻译出来太浪漫了,现在知道还不算晚
-
2025-06-05 11:10:48
-
- 吴宗宪三女儿正面照首曝光!美貌出众不输俩姐姐,三姐妹都是美女
-
2025-06-05 11:08:33
-
- 坚韧之国:以色列的奇迹之旅,为何能在战火中崛起?
-
2025-06-05 06:17:41
-
- 楚灵王:多行不义必自毙的典范
-
2025-06-05 06:15:27